Question

（本题满分12分）
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；②；③若且，则有成立，则称为“友谊函数”.
（Ⅰ）若已知为“友谊函数”，求的值；
（Ⅱ）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由；
（Ⅲ）已知为“友谊函数”，且 ，求证:.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数
（Ⅲ）

解：（Ⅰ）取得,又由，得………………2分
（Ⅱ）显然在上满足①②，若，且，则有故满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数. ………………7分
（Ⅲ）因为，则0＜＜１，
所以 . ………………12分