Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，G为△BC₁D的重心，

(1)求证：A₁、G、C三点共线；
(2)求证：A₁C⊥平面BC₁D；
(3)求点C到平面BC₁D的距离．

Answer 1

（1）见解析   （2）见解析   （3）a.

解：(1)证明：＝＋＋＝＋＋，
可以证明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A₁、G、C三点共线．
(2)证明：设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c²－a²＝0，
∴⊥，即CA₁⊥BC₁，
同理可证：CA₁⊥BD，
因此A₁C⊥平面BC₁D.
(3)∵＝a＋b＋c，
∴²＝a²＋b²＋c²＝3a²，
即||＝a，因此||＝a.
即C到平面BC₁D的距离为a.