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已知a>0,将函数f(x)=
1
2
ax2-a的图象向右平移
1
a
个单位再向下平移
1
2a
个单位后得到函数g(x)的图象.
(Ⅰ)求函数g(x)的表达式;
(Ⅱ)当a=
1
2
时,求g(x)在区间[-4,3]上的最大值与最小值;
(Ⅲ)若函数g(x)在[
2
,2]上的最小值为h(a),求h(a)的最大值.
分析:(Ⅰ)若将函数f(x)=
1
2
ax2-a的图象向右平移
1
a
个单位再向下平移
1
2a
个单位后得到函数g(x)的图象,则先x减
1
a
,再整个解析式减
1
2a
,就得到函数g(x)的表达式.
(Ⅱ)当a=
1
2
时,函数g(x)是一个以x=2为对称轴,开口向上的二次函数,由二次函数的图象和性质即可求得其在区间[-4,3]上的最大值与最小值;
(Ⅲ)由于函数g(x)是以x=
1
a
为对称轴,开口向上的二次函数,定义域为[
2
,2],故需要讨论对称轴与定义域区间的位置关系,才能确定函数的最小值,由此列出分段函数h(a),最后求这个分段函数的最大值即可
解答:解:(Ⅰ)将函数f(x)=
1
2
ax2-a的图象向右平移
1
a
个单位得到函数y=
1
2
a(x-
1
a
)2-a的图象,
再向下平移
1
2a
个单位后得到函数y=
1
2
a(x-
1
a
2-a-
1
2a
 的图象. 
∴函数y=g(x)的表达式为g(x)=
1
2
a(x-
1
a
2-a-
1
2a
             
(Ⅱ)当a=
1
2
时,g(x)=
1
4
(x-2)2-
3
2
 
∴函数g(x)是一个以x=2为对称轴,开口向上的二次函数                           
∵x∈[-4,3],
∴当x=2时,g(x)min=-
3
2
                     
当x=-4时,g(x)max=
15
2
                                       
(Ⅲ)函数g(x)的对称轴为x=
1
a
>0,开口向上,
①当0<
1
a
2
,即a>
2
2
时,函数g(x)在[
2
,2]上为增函数,
∴h(a)=g(
2
)=
1
2
a×(
2
-
1
a
2-a-
1
2a
=-
2
                                            
②当
2
1
a
≤2,即
1
2
≤a≤
2
2
时,
h(a)=g(
1
a
)=
1
2
a×(
1
a
-
1
a
2-a-
1
2a
=-a-
1
2a
.              
③当
1
a
>2,即0<a<
1
2
时,函数g(x)在[
2
,2]上为减函数,
∴h(a)=g(2)=
1
2
a×(2-
1
a
2-a-
1
2a
=a-2                            
综上可知,h(a)=
-
2
,    a>
2
2
-a-
1
2a
,  
1
2
≤a≤
2
2
a-2,          0<a<
1
2

1
2
≤a≤
2
2
时,h(a)=-a-
1
2a
=-(a+
1
2a
)≤-2
1
2a
=-
2

∴当a=
2
2
时,h(x)max=-
2

∵0<a<
1
2
时,h(a)=a-2<
1
2
-2=-
3
2
<-
2

∴当a≥
2
2
时,函数h(a)的最大值为-
2
点评:本题考察了函数图象的变换,二次函数的图象和性质,求二次函数在闭区间上的最值方法,分段函数的性质,分类讨论的思想方法
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinx,1)
n
=(
3
Acosx,
A
2
cos2x)
(A>0),函数f(x)=
m
n
的最大值为1.
(1)求A的值;
(2)设α,β∈[0,
π
2
]
f(
α
2
+
π
6
)=
3
5
f(
β
2
+
12
)=-
5
13
,求cos(α+β)的值;
(3)将函数y=f(x)的图象向左平移
π
12
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[0,
24
]
上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
1
a
1
2a
)(a>0)
,将函数f(x)=
1
2
ax2-a
的图象按向量
m
平移后得到函数g(x)的图象.
(Ⅰ)求函数g(x)的表达式;
(Ⅱ)若函数g(x)在[
2
,2]
上的最小值为h(a),求h(a)的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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m
=(
1
a
1
2a
)(a>0)
,将函数f(x)=
1
2
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的图象按向量
m
平移后得到函数g(x)的图象.
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(Ⅱ)若函数g(x)在[
2
,2]
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个单位再向下平移
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1
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时,求g(x)在区间[-4,3]上的最大值与最小值;
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2
,2]上的最小值为h(a),求h(a)的最大值.

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