Question

14．已知{a_n}是等比数列，S_n是其前n项和，a₁，a₇，a₄成等差数列，求证：2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

Answer 1

分析 通过a₁，a₇，a₄成等差数列可知q³=-$\frac{1}{2}$或q³=1，当q³=1即q=1时显然命题成立；当q³=-$\frac{1}{2}$时，分别计算$\frac{{S}_{6}}{2{S}_{3}}$、$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$即可．

解答 证明：设该等比数列的公比为q，
∵a₁，a₇，a₄成等差数列，
∴2a₇=a₁+a₄，即2a₁q⁶=a₁+a₁q³，
∴2q⁶=1+q³，∴（2q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-$\frac{1}{2}$或q³=1，
①当q³=1即q=1时，命题显然成立；
②当q³=-$\frac{1}{2}$时，
∵S₃=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$，S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$，S₁₂=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{12}）}{1-q}$，
∴$\frac{{S}_{6}}{2{S}_{3}}$=$\frac{1-{q}^{6}}{2（1-{q}^{3}）}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}{2[1-（-\frac{1}{2}）]}$=$\frac{1}{4}$，
$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$=$\frac{{q}^{6}-{q}^{12}}{1-{q}^{6}}$=$\frac{（-\frac{1}{2}）^{2}-（-\frac{1}{2}）^{4}}{1-（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{6}}{2{S}_{3}}$=$\frac{{S}_{12}-{S}_{6}}{{S}_{6}}$；
综上所述，2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

点评 本题考查等比数列的性质及判定，注意解题方法的积累，属于中档题．