Question

5．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+{x}^{3}{y}^{3}+{y}^{3}=12}\\{x+xy+y=0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 把已知方程组第一个方程变形，结合第二个方程求出xy的值，进一步求出x+y的值，再联立方程组求解．

解答 解：由x³+x³y³+y³=12，得x³+x³y³+y³+1=13，即（x³+1）（y³+1）=13
∴（x+1）（x²-x+1）（y+1）（y²-y+1）=13．
由x+y+xy=0，得x+y+xy+1=1，即（x+1）（y+1）=1，
∴有（x²-x+1）（y²-y+1）=13，
则[（x+1）²-3x][（y+1）²-3y]=13，
（x+1）²（y+1）²-3x（y+1）²-3y（x+1）²+9xy=13，
即1-3x（y²+2y+1）-3y（x²+2x+1）+9xy=13，
∴1-3xy（x+y）-3（x+y）-3xy=1-3xy（1-xy）-3（1-xy）-3xy=13，
x²y²-xy-5=0，
求得：xy=$\frac{1±\sqrt{21}}{2}$，带入x+xy+y=0，可求得：x+y=$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$或x+y=$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{xy=\frac{1+\sqrt{21}}{2}}\\{x+y=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$，此方程无解；
联立$\left\{\begin{array}{l}{xy=\frac{1-\sqrt{21}}{2}}\\{x+y=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{21}+\sqrt{14+2\sqrt{21}}+1}{4}}\\{y=\frac{-\sqrt{21}+\sqrt{14+2\sqrt{21}}+3}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{21}-\sqrt{14+\sqrt{21}}-1}{4}}\\{y=\frac{-\sqrt{21}-\sqrt{14+2\sqrt{21}}+1}{4}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查有理指数幂的化简与求值，考查数学转化思想方法，考查了灵活变形能力和运算能力，难度较大．