【题目】已知函数
，
，设
.
（Ⅰ）若
在
处取得极值，且
，求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若
时函数有两个不同的零点
、
.
①求
的取值范围；②求证：
.
【答案】（1）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+
）上单调减.（2）①（
，0）②详见解析
【解析】
试题（1）先确定参数：由
可得a=b-3. 由函数极值定义知
所以a=" -2,b=1" .再根据导函数求单调区间（2）①当
时，
，原题转化为函数
与直线
有两个交点，先研究函数图像，再确定b的取值范围是（，0）.
②
，由题意得
,所以
，因此须证
，构造函数
，即可证明
试题解析：（1）因为
，所以
,
由可得a=b-3.
又因为
在
处取得极值，
所以，
所以a=" -2,b=1" .
所以
，其定义域为（0，+）
令
得
，
当
（0,1）时，
，当（1,+）
，
所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.
（2）当时，，其定义域为（0，+）.
①由
得
，记，则
,
所以在
单调减，在
单调增，
所以当
时取得最小值.
又
，所以
时
，而
时
,
所以b的取值范围是（，0）.
②由题意得,
所以
,
所以，不妨设x1<x2,
要证
, 只需要证
.
即证，设
,
则
,
所以
,
所以函数
在（1，+）上单调增，而
，
所以
即
,
所以.
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【题目】设函数
，其中
是自然对数的底数.
（1）若
，
，证明
；
（2）是否存在实数
，使得函数
在区间
上有两个零点？若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由.
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【题目】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，EF
AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，G为BC的中点，求证：
（1）OG∥平面ABFE；
（2）AC⊥平面BDE．
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【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是梯形，
,
,
是正三角形，
为
的中点，平面
平面
．
（1）求证：
平面
；
（2）在棱
上是否存在点
，使得二面角
的余弦值为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
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【题目】已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物线
上一点，且满足
.
（1）求
、
的值；
（2）设
、
是抛物线上不与
重合的两个动点，记直线
、
与的准线的交点分别为
、
，若
，问直线
是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.
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【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为：
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为：
．
（Ⅰ）求直线与曲线公共点的极坐标；
（Ⅱ）设过点
的直线
交曲线于
，
两点，求
的值．
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【题目】已知函数h（x）是定义在（﹣2，2）上，满足h（﹣x）＝﹣h（x），且x∈（0，2）时，h（x）＝﹣2x，当x∈（﹣2，0）时，不等式[h（x）+2]2＞h（x）m﹣1恒成立，则实数m的取值范围是_____．
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【题目】已知椭圆C：
（
），其中离心率
，点
为椭圆
上的动点，
为椭圆的左右焦点，若
面积的最大值为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线
交椭圆于
两点，点
是椭圆的上顶点，若
，试问直线是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标，否则说明理由．
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【题目】已知函数f(x)＝
x3(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
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