Question

【题目】设函数，其中是自然对数的底数.

（1）若，，证明；

（2）是否存在实数，使得函数在区间上有两个零点？若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）不存在实数，详见解析

【解析】

（1）分类讨论，时直接证明，时，利用导数研究函数的单调性，最小值可证得不等式成立；

（2）时，由（1）可知无零点，时，仍然利用导数研究函数的单调性，函数极值，结合零点存在定理确定零点个数．

（1）证明：①若，则当时，，，所以；

②若，因为，

设，，

当时，，所以在上单调递增，

所以，

所以在上单调递增，所以，

综上所述，若，，则.

（2）不存在实数，使得函数在区间上有两个零点.

理由如下：

（1）若，由（1）知，在上单调递增，且，所以函数在区间上无零点；

（2）若，由（1）知，当时，

所以在上单调递增.因为，，

所以在上存在唯一的零点，

即方程在上存在唯一解，

且当时，，当，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，所以在无零点；

当时，，，

所以在上有唯一零点，

故当时，在上有一个零点，

综上所述，不存在实数，使得函数在区间上有两个零点.