Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F(0，

p

2

)，准线为l，点P（x₀，y₀）（y₀＞p）为抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离为

3

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若圆F的方程为x²+（y-1）²=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求△PMN面积的最小值及此事y₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得出圆心的纵坐标为

p

4

，由圆心到准线的距离等于

3

2

求出p的值，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）设出过P点的切线方程，由圆心F到切线的距离等于1整理得到关于切线斜率k的一元二次方程，方程的两个根为两条切线的斜率，由根与系数关系得到两根的和与积（用P点的坐标表示），单独写出两切线的方程，求出M和N的坐标，由数轴上的两点间的距离公式写出M、N的距离，把根与系数关系代入后化为P点纵坐标的表达式，则三角形PMN的面积化为了关于P点纵坐标的函数关系式，通过求导得到面积的最小值．

解答：解：（I）△FOP的外接圆的圆心在线段OF，FP的中垂线的交点上，且线段OF的中垂线为直线y=

p

4

，
则圆心的纵坐标为

p

4

，故圆心到准线的距离为

p

2

+

p

4

=

3

2

，解得p=2，即抛物线C的方程为x²=4y．
（II）由题意知过点P的圆x²+（y-1）²=1的切线的斜率存在，设切线方程为y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-kx₀+y₀=0．
则点F（0，1）到直线的距离d=

|y0-kx-1|

k2+1

．令d=1，则

|y0-kx0-1|

k2+1

=1，
整理得(

x

2 0

-1)k2-2x0(y0-1)k+

y

2 0

-2y0=0．
设两条切线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，则k1+k2=

2x0(y0-1)

x 2 0 -1

，k1k2=

y 2 0 -2y0

x 2 0 -1

，
且直线PM：y-y₀=k₁（x-x₀），直线PN：y-y₀=k₂（x-x₀），故M(x0-

y0

k1

，0)，N(x0-

y0

k2

，0)．
因此|MN|=|

y0

k2

-

y0

k1

|=y0|

k1-k2

k1k2

|=y0

(k1+k2)2-4k1k2 k1k2

=

8y0+4 y 2 0 (y0-2)2

．
所以S△PMN=

1

2

|MN|y0=

y 2 0 (2y0+ y 2 0 ) (y0-2)2

．
设f(t)=

t2(2t+t2)

(t-2)2

（t＞2），则f′(t)=

2t2(t2-3t-6)

(t-2)3

，
令t²-3t-6=0，则t=

3- 33

2

（舍），或t=

3+ 33

2

．
当t∈(2，

3+ 33

2

)时，f′（t）＜0，f（t）在(2，

3+ 33

2

)上单点递减，
当t∈(

3+ 33

2

，+∞)时，f′（t）＞0，f（t）在(

3+ 33

2

，+∞)上单调递增，
因此fmin(t)=f(

3+ 33

2

)=

( 3+ 33 2 )2[2× 3+ 33 2 +( 3+ 33 2 )2]

( 3+ 33 2 -2)2

=

(36+4 33 )2

642

(54+10

33

)．
所以△PMN面积的最小值为

(36+4 33 )2 642 (54+10 33 )

=

9+ 33

16

54+10 33

．
此时y0=

3+ 33

2

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了方程思想和函数思想，训练了利用导数求函数的最值，训练了学生的计算能力，繁杂的运算量会使学生对该题失去信心．此题属难题．