Question

17．已知圆C的圆心在直线x-3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l：x-y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），推出a=3b．利用切点坐标，求出圆心与半径，然后求出圆的方程．
（Ⅱ）判断△ABC为等腰直角三角形．利用点到直线的距离公式化简求解即可．

解答 （本题满分9分）
解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），圆C的圆心在直线x-3y=0上，所以a=3b．
因为圆与y轴相切于点（0，1），则b=1，r=|a-0|．
所以圆C的圆心坐标为（3，1），r=3．
则圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9．      …（5分）
（Ⅱ）因为CA⊥CB，|CA|=|CB|=r，所以△ABC为等腰直角三角形．
因为|CA|=|CB|=r=3，则圆心C到直线l的距离$d=\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
则$d=\frac{|3-1+m|}{{\sqrt{1+1}}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，求得m=1或-5． …（9分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．