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已知:集合M={f(x)|?x0∈D,使f(x0+1)=f(x0)+f(1).其中集合D是f(x)的定义域}.
问:(1)函数数学公式是否属于集合M?说明理由.
(2)函数f2=2x+x2是否属于集合M?说明理由.
(3)若函数数学公式,试给出一个满足要求的实数a的值.

解:(1)由题意,f1(x)∉M.
假若f1(x)∈M,则存在x0,使
得x02+x0+1=0.此方程无解,
故f1(x)∉M.
(2)由题意f2(x)∈M.
令g(x)=f2(x+1)-f2(x)-f2(1)=2x+1+(x+1)2-2x-x2-2-1=2(2x-1+x-1),
由于g(0)=-1,g(1)=2,
故函数f2(x)在(0,1)上至少有一个零点,
设为x0,它满足f2(x0+1)=f2(x0)+f2(1),
所以f2(x)∈M.
(3)由于
得存在x0,使得=,即=
所以a=
令g(x)=
g′(x)==0,得x=
结合如图的图象,函数g(x)在(-∞,)上单调增,在()上单调减,在()上单调增,且x<-1时g(x)>2,x>2时g(x)<2,
所以g(x)的值域为[3-,3+],
于是a∈[3-,3+].
可取a=3
分析:(1)f1(x)∉M,不妨令f1(x)∈M,则存在x0,使,解此方程,若方程有解,则说明假设成立f1(x)∈M,否则说明不成立;
(2)f2(x)∈M.不妨令g(x)=f2(x+1)-f2(x)-f2(1),代入解析式进行判断,若此函数有零点,则说明函数f2=2x+x2属于集合M,否则说明它不属于集合M;
(3)函数,则存在x0,使得=,由于本题要求出一个满足要求的实数a的值,可从此方程中将a表示为x0的函数,得到a=,利用导数解出此函数的最值,即可得出函数的值域,即a可以存在的范围,从中任意找出一个值即可.
点评:本考查函数与方程的综合运用,考查了分式方程的解法,函数零点的判定定理,解对数方程,利用导数求最值,解题的关键是理解题设中所给的定义,理解其运算规则,由此得到方程,再由函数的相关知识综合作出判断本题综合性强,尤其是第三小题的求解,需要构造函数研究参数的取值范围,用到了函数的思想,这是本题的难点,做题时根据问题选择合适的工具可以大大降低解题的难度
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1
x
是否属于集合M?说明理由.
(2)函数f2=2x+x2是否属于集合M?说明理由.
(3)若函数f3(x)=lg
a
x2+1
∈M
,试给出一个满足要求的实数a的值.

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(1)函数f(x)=是否属于集合M?说明理由;

(2)设函数f(x)=lg,求实数a的取值范围;

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