Question

已知：集合M={f（x）|?x₀∈D，使f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）．其中集合D是f（x）的定义域}．
问：（1）函数f1(x)=

1

x

是否属于集合M？说明理由．
（2）函数f₂=2^x+x²是否属于集合M？说明理由．
（3）若函数f3(x)=lg

a

x2+1

∈M，试给出一个满足要求的实数a的值．

Answer 1

分析：（1）f₁（x）∉M，不妨令f₁（x）∈M，则存在x₀，使

1

x0+1

=

1

x0

+1，解此方程，若方程有解，则说明假设成立f₁（x）∈M，否则说明不成立；
（2）f₂（x）∈M．不妨令g（x）=f₂（x+1）-f₂（x）-f₂（1），代入解析式进行判断，若此函数有零点，则说明函数f₂=2^x+x²属于集合M，否则说明它不属于集合M；
（3）函数f3(x)=lg

a

x2+1

∈M，则存在x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

，由于本题要求出一个满足要求的实数a的值，可从此方程中将a表示为x₀的函数，得到a=

2(x0 2+1)

x0 2+2x0+2

，利用导数解出此函数的最值，即可得出函数的值域，即a可以存在的范围，从中任意找出一个值即可．

解答：解：（1）由题意，f₁（x）∉M．
假若f₁（x）∈M，则存在x₀，使

1

x0+1

=

1

x0

+1，
得x₀²+x₀+1=0．此方程无解，
故f₁（x）∉M．
（2）由题意f₂（x）∈M．
令g（x）=f₂（x+1）-f₂（x）-f₂（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1），
由于g（0）=-1，g（1）=2，
故函数f₂（x）在（0，1）上至少有一个零点，
设为x₀，它满足f₂（x₀+1）=f₂（x₀）+f₂（1），
所以f₂（x）∈M．
（3）由于f3(x)=lg

a

x2+1

∈M，
得存在x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

，即

a

(x0+1)2+1

=

a

x02+1

×

a

2

，
所以a=

2(x0 2+1)

x0 2+2x0+2

，
令g（x）=

2(x  2+1)

x  2+2x +2

，
g′（x）=

4(x2+1)

(x2+2x+2)2

=0，得x=

-1± 5

2

，
结合如图的图象，函数g（x）在（-∞，

-1- 5

2

）上单调增，在（

-1- 5

2

，

-1+ 5

2

）上单调减，在（

-1+ 5

2

，+∞）上单调增，且x＜-1时g（x）＞2，x＞2时g（x）＜2，
所以g（x）的值域为[3-

5

，3+

5

]，
于是a∈[3-

5

，3+

5

]．
可取a=3

点评：本考查函数与方程的综合运用，考查了分式方程的解法，函数零点的判定定理，解对数方程，利用导数求最值，解题的关键是理解题设中所给的定义，理解其运算规则，由此得到方程，再由函数的相关知识综合作出判断本题综合性强，尤其是第三小题的求解，需要构造函数研究参数的取值范围，用到了函数的思想，这是本题的难点，做题时根据问题选择合适的工具可以大大降低解题的难度