Question

已知函数y=f（x）的图象与g(x)=lo

g

a

x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过点（9，2）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（3x-1）＞f（-x+5），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据g（x）的图象过点（9，2），求得a的值，可得g（x）的解析式，再根据图象的对称性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f（3x-1）＞f（-x+5），可得log

1

3

(3x-1)＞log

1

3

(-x+5)，即

3x-1＞0 -x+5＞0 3x-1＜-x+5

，由此求得x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（9，2），
∴log_a9=2，a=3，即g（x）=log₃x．
∵函数y=f（x）的图象与g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，
∴f(x)=log

1

3

x．
（Ⅱ）∵f（3x-1）＞f（-x+5），
∴log

1

3

(3x-1)＞log

1

3

(-x+5)，
即

3x-1＞0 -x+5＞0 3x-1＜-x+5

，
解得

1

3

＜x＜

3

2

，
即x的取值范围为{x|

1

3

＜x＜

3

2

}．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，属于中档题．