Question

边长为1的正方形ABCD沿AC对折成二面角B-AC-D，若三棱锥A-BCD的体积是

6

24

，则二面角B-AC-D的大小等于

60°，120°

．

Answer 1

分析：如图所示，先作出∠BOD为二面角B-AC-D的平面角．在面BOD内过B作BH⊥OD，则BH⊥面ACD．BH为B到面ACD的距离．利用体积转化V _A-BCD=V _B-ACD，求出BH，在RT△BOH中求解．

解答：解：如图所示：
在正方形ABCD中连接AC，BD交于点O，
则BO⊥AC，DO⊥AC，∴∠BOD为二面角B-AC-D的平面角，且AC⊥面BOD，
∵AC?面ACD，∴面ACD⊥面BOD．
在面BOD内过B作BH⊥OD，根据平面和平面垂直的性质定理，得BH⊥面ACD．BH为B到面ACD的距离．
∵V _A-BCD=V _B-ACD=

1

3

×

1

2

×BH=

6

24

，∴BH=

6

4

．
在RT△BOH中，sin∠BOD=

BH

BO

=

6 4

2 2

=

3

2

，∠BOD=60°，
若二面角B-AC-D为钝二面角，则大小为180°-60°=120°．
故答案为：60°，120°．

点评：本题考查二面角的大小计量，体积的计算即转化，考查空间想象能力，推理论证、运算求解能力．注意结果有两种情况，且大小互补．