已知等差数列{an}的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1，b4=a3+1．记集合A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{cn}．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{cn}的前50项和S50；
（Ⅲ）把集合∁UA中的元素从小到大依次排列构成数列{dn}，写出数列{dn}的通项公式，并说明理由．
【答案】
分析：（Ⅰ）设等比数列{b
n}的公比为q，利用等比数列的通项公式即可求得q，从而得到通项公式；
（Ⅱ）根据数列{a
n}和数列{b
n}的增长速度，判断数列{c
n}的前50项中包含{a
n}、{b
n}的项的情况，再根据等差数列求和公式即可得到结果；
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{d
n}的通项公式为d
n=2
2n-1，由d
n=b
2n，∴只需证明数列{b
n}中，b
2n-1∈A，b
2n∉A（n∈N
*），通过作差b
2n+1-b
2n-1，可判断若b
2n-1∈A，则b
2n+1∈A．根据为b
1∈A判断b
2n-1∈A（n∈N
*）．同理可判断b
2n∉A，从而得到d
n=2
2n-1．
解答：解：（Ⅰ）设等比数列{b
n}的公比为q，
∵b
1=a
1=1，b
4=a
3+1=8，则q
3=8，∴q=2，
∴b
n=2
n-1；
（Ⅱ）根据数列{a
n}和数列{b
n}的增长速度，数列{c
n}的前50项至多在数列{a
n}中选50项，数列{a
n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，
由2
n-1＜148得，n≤8，数列{b
n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a
n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a
46=136＞128，故数列{c
n}的前50项应包含数列{a
n}的前46项和数列{b
n}中的2，8，32，128这4项．
所以S
50=
=3321；
（Ⅲ）据集合B中元素2，8，32，128∉A，猜测数列{d
n}的通项公式为d
n=2
2n-1．
∵d
n=b
2n，∴只需证明数列{b
n}中，b
2n-1∈A，b
2n∉A（n∈N
*），
证明如下：∵b
2n+1-b
2n-1=2
2n-2
2n-2=4
n-4
n-1=3×4
n-1，即b
2n+1=b
2n-1+3×4
n-1，
若?m∈N
*，使b
2n-1=3m-2，那么b
2n+1=3m-2+3×4
n-1=3（m+4
n-1）-2，
所以，若b
2n-1∈A，则b
2n+1∈A．因为b
1∈A，重复使用上述结论，即得b
2n-1∈A（n∈N
*）．
同理，b
2n+2-b
2n=2
2n+1-2
2n-1=2×4
n-2×4
n-1=3×2×4
n-1，即b
2n+2=b
2n+3×2×4
n-1，
因为“3×2×4
n-1”为数列{a
n}的公差3的整数倍，
所以说明b
2n 与b
2n+2（n∈N
*）同时属于A或同时不属于A，
当n=1时，显然b
2=2∉A，即有b
4=2∉A，重复使用上述结论，即得b
2n∉A，
∴d
n=2
2n-1；
点评：本题考查等差数列、等比数列的综合及数列求和，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题中（Ⅲ）问先猜后证的思路值得借鉴学习，要细心领会．
已知等差数列{an}中，a4a6=-4，a2+a8=0，n∈N*．