Question

已知奇函数f（x）的定义域为[-1，1]，f（-1）=2，对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0．
（Ⅰ）判断f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（Ⅱ）若f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题中的不等式结合函数为奇函数，利用单调性的定义加以证明，即可得到函数f（x）是区间[-1，1]上的减函数；
（II）由题意得当x∈[-1，1]时，f（x）≤2恒成立．因此原不等式可化为m²-2am+2≥2，即m（m-2a）≥0，再根据a∈[-1，1]建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，
∴f（x）对于任意x∈[-1，1]，-x∈[-1，1]．
且f（-x）=-f（x）恒成立．
设-1≤x₁＜x₂≤1，则x₁-x₂＜0，即x₁+（-x₂）-x₂≠0，
由题意得：

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＜0，即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
因此，函数f（x）是区间[-1，1]上的减函数；
（Ⅱ）∵f（-1）=2，且f（x）在[-1，1]上是减函数，
∴当x∈[-1，1]时，函数的最大值为f（-1）=2，可得f（x）≤2恒成立．
∵不等式f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴m²-2am+2≥2，即m²-2am≥0，可得m（m-2a）≥0．
由于a∈[-1，1]时，原不等式恒成立，
∴可得

m(m+2)≥0 m(m-2)≥0

，解之得m=0或m≥2或m≤-2，
即实数m的取值范围是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评：本题给出奇函数满足的条件，求函数的单调性并依此解决不等式恒成立的问题，着重考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．