Question

如图，△BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，∠BCD=90°，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E、F分别为DB、CB的中点．
（1）证明：P、A、E、F四点共面；
（2）证明：AE⊥BC；
（3）求直线PF与平面BCD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过平面BCD⊥平面ABC，结合直线与平面平行的性质定理，推出EF∥PA，即可证明A，E，F四点共面．（2）连AF，EF，推出BC⊥平面AEF，利用直线与平面垂直的性质定理证明AE⊥BC．
（3）推出PA⊥平面ABC，证明AF⊥平面BCD，说明PF在平面BCD内射影为EF，然后说明∠PFE即为所求，求解即可．

解答： 解：（1）证明：平面BCD⊥平面ABC，
平面BCD∩平面ABC=BCCD⊥BC，CD?平面BCD，
CD⊥平面ABC∵PA⊥平面ABC∴PA∥CD，PA=

1

2

CD△BCD中，E、F分别为DB、CB的中点∴EF∥DC，EF=

1

2

CD∴EF∥PA，EF=PA
P，A，E，F四点共面-------------------------（4分）
（2）证明：连AF，EF，△ABC中，AC=BC，F为BC的中点，AF⊥BC，∠BCD=90°，DC∥EF，∴EF⊥BC，AF∩EF=F
BC⊥平面AEF，
AE?平面AEF∴AE⊥BC-------------------------------（8分）
（3）解：∴PA∥CD∵PA⊥平面ABC，
CD⊥平面ABC，AF?平面ABC，AF⊥CD，
∵AB=AC，BF=CF∴AF⊥BC，BC∩CD=C，
∴AF⊥平面BCD，
∵PE∥AF∴PE⊥平面BCD，
PF在平面BCD内射影为EF，
∴∠PFE即为所求．
可求∠PFE=60°，
直线PF与平面BCD所成角的大小为60°-----------------------（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，直线与平面所成角的求法，平面的基本性质的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用．