Question

3．已知函数f（x）=ae^x+x²，g（x）=cosπx+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0）），且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1）），则a+b=-2，直线l的方程为x+y+1=0．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率a；求出g（x）的导数，可得切线的斜率b．由两点的斜率公式，解方程可得a=b=-1，进而由斜截式方程可得所求切线的方程．

解答 解：函数f（x）=ae^x+x²的导数为f′（x）=ae^x+2x，
可得在点（0，f（0））处的切线的斜率为a；
g（x）=cosπx+bx的导数为g′（x）=-πsinπx+b，
可得在（1，g（1））处的切线的斜率为b，
由题意可得a=b=$\frac{a-（b-1）}{0-1}$，
解得a=b=-1．
∴a+b=-2，
即有f（0）=a=-1，
可得切线的方程为y=-x-1．即x+y+1=0．
故答案为：-2，x+y+1=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．