Question

【题目】已知数集A={a1 ， a2 ， …，an}（1=a1＜a2＜…＜an ， n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；
（Ⅲ）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为 3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性质P． 因为 2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性质P
（Ⅱ）因为集合A={a1 ， a2 ， …，an}具有性质P：
即对任意的k（2≤k≤n），i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立，
又因为1=a1＜a2＜…＜an ， n≥2，所以ai＜ak ， aj＜ak
所以ai≤ak﹣1 ， aj≤ak﹣1 ， 所以ak=ai+aj≤2ak﹣1
即an﹣1≤2an﹣2 ， an﹣2≤2an﹣3 ， …，a3≤2a2 ， a2≤2a1
将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）
所以an≤2a1+a2+…+an﹣1
（Ⅲ）最小值为147．
首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2
所以易知数集A的元素都是整数．
构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
下面，我们证明147是最小的和
假设数集A={a1 ， a2 ， …，an}（a1＜a2＜…＜an ， n≥2），满足 最小（存在性显然，因为满足 的数集A只有有限个）．
第一步：首先说明集合A={a1 ， a2 ， …，an}（a1＜a2＜…＜an ， n≥2）中至少有8个元素：
由（Ⅱ）可知a2≤2a1 ， a3≤2a2…
又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，
所以n≥8
第二步：证明an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9：
若36∈A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得 最小，在集合A
中一定不含有元素ak ， 使得36＜ak＜72，从而an﹣1=36；
假设36A，根据性质P，对an=72，有ai ， aj ， 使得an=72=ai+aj
显然ai≠aj ， 所以an+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有5个不同于an ， ai ， aj的元素，
从而S＞（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾，
所以36∈A，进而at=36，且an﹣1=36；
同理可证：an﹣2=18，an﹣3=9
（同理可以证明：若18∈A，则an﹣2=18）．
假设18A．
因为an﹣1=36，根据性质P，有ai ， aj ， 使得an﹣1=36=ai+aj
显然ai≠aj ， 所以an+an﹣1+ai+aj=144，
而此时集合A中至少还有4个不同于an ， an﹣1 ， ai ， aj的元素
从而S＞an+an﹣1+ai+aj+4a1=148，矛盾，
所以18∈A，且an﹣2=18
同理可以证明：若9∈A，则an﹣3=9
假设9A
因为an﹣2=18，根据性质P，有ai ， aj ， 使得an﹣2=18=ai+aj
显然ai≠aj ， 所以an+an﹣1+an﹣2+ai+aj=144
而此时集合A中至少还有3个不同于an ， an﹣1 ， an﹣2 ， ai ， aj的元素
从而S＞an+an﹣1+an﹣2+ai+aj+3a1=147，矛盾，
所以9∈A，且an﹣3=9）
至此，我们得到了an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9ai=7，aj=2．
根据性质P，有ai ， aj ， 使得9=ai+aj
我们需要考虑如下几种情形：
①ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大等于4的元素ak ， 才能得到元素8，
则S＞148；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak ， 才能得到元素7，
则S＞148；
③ai=6，aj=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；
④ai=5，aj=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147
【解析】（Ⅰ）利用性质P的概念，对数集{1，3，4}与{1，2，3，6}判断即可；（Ⅱ）利用集合A={a1 ， a2 ， …，an}具有性质P，可分析得到ai≤ak﹣1 ， aj≤ak﹣1 ， 从而ak=ai+aj≤2ak﹣1 ， （k=2，3，…n），将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1） 即可证得结论；（Ⅲ）首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．
再利用反证法证明满足S= ≤147最小的情况不存在，从而可得最小值为147．