Question

设双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF₂|+|AF₂|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的标准方程可得：a=2，再由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4，|BF₂|-|BF₁|=2a=4，所以得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，再根据A、B两点的位置特征得到答案．

解答： 解：根据双曲线的标准方程线

x2

4

-

y2

3

=1，得：a=2，
由双曲线的定义可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=4…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=4…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=8，
∵过双曲线的左焦点F₁的直线交双曲线的左支于A，B两点，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，当|AB|是双曲线的通经时|AB|最小．
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=8．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+8≥

2b2

a

+8=11．
故答案为：11．

点评：本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．