Question

已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上．则C的方程为

 

．

Answer 1

分析：根据题意可知线段AB为圆C的一条弦，根据垂径定理得到AB的垂直平分线过圆心C，所以由A和B的坐标表示出直线AB的方程，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1由直线AB的斜率求出AB垂直平分线的斜率，又根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程，又因为圆心在x轴上，所以把求出AB的垂直平分线与x轴的交点坐标即为圆心C的坐标，然后根据两点间的距离公式求出线段AC的长度即为圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：由A（5，1），B（1，3），
得到直线AB的方程为：y-3=

3-1

1-5

（x-1），即x+2y-7=0，
则直线AB的斜率为-

1

2

，所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，
又设线段AB的中点为D，则D的坐标为（

5+1

2

，

1+3

2

）即（3，2），
所以线段AB的垂直平分线的方程为：y-2=2（x-3）即2x-y-4=0，
令y=0，解得x=2，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点即圆心C的坐标为（2，0），
而圆的半径r=|AC|=

(5-2)2+(1-0)2

=

10

，
综上，圆C的方程为：（x-2）²+y²=10．
故答案为：（x-2）²+y²=10

点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，掌握垂径定理的灵活运用，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．