Question

【题目】已知抛物线上一点到焦点的距离.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点引圆的两条切线，切线与抛物线的另一交点分别为，线段中点的横坐标记为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题意确定p的值即可确定抛物线方程；

（2）很明显切线斜率存在，由圆心到直线的距离等于半径可得是方程的两根，联立直线方程与抛物线方程可得点的横坐标 .结合韦达定理将原问题转化为求解函数的值域的问题即可.

（1）由抛物线定义,得，由题意得：

解得

所以，抛物线的方程为.

（2）由题意知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.

设切线的方程为,同理可得.

所以，是方程的两根，.

设，由得，，

由韦达定理知，，所以，同理可得.

设点的横坐标为，则

.

设，则，

所以，，对称轴，所以