Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，

3

2

）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为1且过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，

3

2

）到两焦点的距离求得a，进而求得b，得到椭圆的方程．
（2）直线l：y=x+1，代入椭圆方程3x²+4（x+1）²=12，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出|x₁-x₂|，即可求弦MN的长．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4．
∴a=2，又c=1，b²=4-1=3，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）斜率为1且过F₁的直线l的方程为：y=x+1，
代入椭圆方程3x²+4（x+1）²=12，
整理可得7x²+8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|x₁-x₂|=

64 49 + 32 7

=

12 2

7

，
∴|AB|=

2

•

12 2

7

=

24

7

．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．