Question

椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0 ）与x轴交于A、B两点，F是它的右焦点，若

FA

•

FB

=-1且|OF|=1
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆G的上顶点为M，是否存在直线L，L交椭圆于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）两点，满足PQ⊥MF，且|PQ|=

4

3

，若存在，求直线L的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据

FA

•

FB

=-1且|OF|=1，建立方程，求出几何量，即可得出椭圆C的标准方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求出直线L的方程．

解答： 解：（1）∵

FA

•

FB

=-1且|OF|=1，
∴c=1，（a+c）（a-c）=1
∴a²=2b²=2-1=1
∴椭圆C的方程是

x2

2

+y2=1┉┉┉┉┉┉（4分），
（2）设P（x₁，y₁）　Q（x₂，y₂）（6分）
∵MF⊥PQ，∴设l_PQ：y=x+m
由

y=x+m x2+2y2=2

得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

┉┉┉┉┉┉（8分）
由|PQ|=

4

3

得

1+1

|x1-x2|=

4

3

，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

8

9

，
∴

16m2

9

-

8m2-8

3

=

8

9

，
∴m=±

2

经检验m=±

2

时△＞0
∴所求的直线方程是：y=x±

2

┉┉┉┉┉┉（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．