Question

已知离心率为

3

2

的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点，点P是椭圆C₁上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）当k₁=

1

2

，在焦点在x轴上的椭圆C₁上求一点Q，使该点到直线PA₂的距离最大．
（3）试判断乘积“k₁•k₂”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（1）求出双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点为（±2，0），得到椭圆的A₁，A₂的坐标，设出设椭圆C₁的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，求出a，利用e，然后求解b，求出椭圆C₁的标准方程．
（2）求出直线PA₂的方程为y=-

1

2

(x-2)即x+2y-2=0，推出平行线方程与椭圆联立方程组利用判别式为0，求出m值，即可求解点Q坐标满足题意．
（3）设P（x₀，y₀）则

x02

4

+y₀²=1，利用k₁k₂，化简整理即可求出k₁k₂的值与点P的位置无关．

解答： （13分）
解：（1）双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点为（±2，0），即A₁，A₂的坐标分别为（_2，0），（2，0）．
∴设椭圆C₁的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则a=2，
且e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，从而b²=a²-c²=1，
∴椭圆C₁的标准方程为

x2

4

+y²=1．或

x2

4

+

y2

16

=1．
（2）当k1=

1

2

时，k2=-

1

2

，故直线PA₂的方程为y=-

1

2

(x-2)即x+2y-2=0，
与直线PA₂平行的直线方程为：x+2y+m=0，（m＞0），代入椭圆方程，
可得（2y+m）²+4y²-4=0，即8y²+4my+m²-4=0，
∴△=16m²-32（m²-4）=0，
解得m=2

2

，
此时y=-

2

2

，∴x=-

2

，
∴点Q(-

2

，-

2

2

)．
（3）设P（x₀，y₀）则

x02

4

+y₀²=1，即y₀²=1-

x02

4

=

4-x02

4

．
k₁k₂=

y0-0

x0-(-2)

•

y0-0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

1

4

．∴k₁k₂的值与点P的位置无关，恒为-

1

4

．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．