Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，直线l：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点．设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．如果存在，求出实数m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用直线l：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切，求出b的值，利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，即可求出a，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在x轴上存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．设l₁的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合(

PG

+

PH

)•

GH

=0，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由e2=

1

2

=

a2-b2

a2

，得a2=2b2，…（3分）
∵直线y=x+2与圆x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b，解得b=

2

，则a²=4．（5分）
故所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（6分）
（Ⅱ）在x轴上存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．…（7分）
理由如下：
设l₁的方程为y=kx+2（k＞0），
由

x2 4 + y2 2 =1 y=kx+2

，得(1+2k2)x2+8kx+4=0
∵直线l₁与椭圆C有两个交点，
∴△=64k²-16（1+2k²）=16（2k²-1）＞0
∴k2＞

1

2

，
又∵k＞0，∴k＞

2

2

．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则x1+x2=

-8k

1+2k2

．（9分）
∴

PG

+

PH

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4），

GH

=(x2-x1， y2-y1)=(x2-x1， k(x2-x1))．
由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则(

PG

+

PH

)•

GH

=0．（10分）
∴（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0．
即(x2-x1)[(1+k2)(x1+x2)+4k-2m]=0
∵k＞0，∴x₂-x₁≠0，
∴（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0，
∴(1+k2)(

-8k

1+2k2

)+4k-2m=0，解得m=

-2

1 k +2k

设y=

1

k

+2k，当k＞

2

2

时，y′=-

1

k2

+2=

2k2-1

k2

＞0，
∴函数y=

1

k

+2k在(

2

2

，+∞)上单调递增，
∴y＞

1

2 2

+2×

2

2

=2

2

，（12分）
∴m=

-2

y

＞

-2

2 2

=-

2

2

（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．