Question

设P是圆x²+y²=4上的任意一点，过P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M是线段PD上的点，且满足|DM|=m|PD|（0＜m＜1），当点P在圆上运动时，记M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C的左焦点F作斜率为

2

2

的直线l交曲线C于A、B两点，点Q满足

OA

+

OB

+

OQ

=

0

，是否存在实数m，使得点Q在曲线C上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由|DM|=m|PD|，确定M，P的坐标，代入圆的方程，即可求曲线C的方程；
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

OA

+

OB

+

OQ

=

0

，求出Q的坐标，代入椭圆方程，即可得出结论．

解答： 解：（1）如图设M（x，y）、P（x₀，y₀），则由|DM|=m|PD|（0＜m＜1）得
x=x₀，|y|=m|y₀|，即

x0=x |y0|= 1 m |y|

∵x02+y02=4，∴

x2

4

+

y2

4m2

=1，即为曲线C的方程；…6′
（2）设c=2

1-m2

，则F(-c，0)，l：y=

2

2

(x+c)
由

x2 4 + y2 4m2 =1 y= 2 2 (x+c)

得：（2m²+1）x²+2cx+4-12m²=0…8′
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
则x1+x2=-

2c

2m2+1

，x1x2=

4-12m2

2m2+1

．
∴y1+y2=

2

2

(x1+x2+2c)，…9′
∵

OQ

=-(

OA

+

OB

)=-(x1+x2，y1+y2)=(

2c

2m2+1

，

-2 2 cm2

2m2+1

)
即Q点坐标为(

2c

2m2+1

，

-2 2 cm2

2m2+1

)，将Q点代入

x2

4

+

y2

4m2

=1，得m=

2

2

．
∴存在当m=

2

2

时，Q点在曲线C上．…13′

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用代入法是关键．