Question

已知函数f(x)=1-

2

3x+1

．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用单调性定义证明：函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）解不等式：f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

分析：（1）化简函数的解析式为

3x-1

3x+1

，求得函数f（x）的定义域为R，再根据f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）用增函数的定义证明 函数f（x）在其定义域上是增函数．
（3）由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0，得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）．再利用函数的奇偶性、单调性的性质解此不等式．

解答：解：（1）∵函数f(x)=1-

2

3x+1

=

3x+1-2

3x+1

=

3x-1

3x+1

，
可得3^x＞0，3^x+1≠0，∴函数f（x）的定义域为R．
再根据f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x），
故f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）证明：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

3x1+1

-(1-

2

3x2+1

)
=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=2×

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

．
由题设x₁＜x₂ 可得0＜3x1＜3x2，∴3x1-3x2＜0，且 3x1+1＞0，3x2+1＞0，
故有 f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在其定义域R上是增函数．
（3）由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0，得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）．
∵函数f（x）为奇函数，
∴-f（2m-3）=f（3-2m），不等式即f（3m²-m+1）＜f（3-2m）．
由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数，
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）等价于 3m²-m+1＜3-2m，
即3m²+m-2＜0，即（3m-2）（m+1）＜0，∴-1＜m＜

2

3

．
不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为{m|-1＜m＜

2

3

}．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，用函数的单调性的定义证明函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题．