Question

4．已知定义在R上的奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+a）．
（1）求a的值以及g（x）在[-2，-1]上的解析式；
（2）若关于x的不等式g（$\frac{t-{2}^{x}}{8+{2}^{x+3}}$）≥1-log₂3在R上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性得出a=1，g（x+2）=-g（x），转化得出当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+1），当-2≤x≤-1，则0≤x+2≤1，g（x+2）=log₂（x+3），即可求出g（x）在[-2，-1]上的解析式
（2）利用对数函数的单调性及对数的运算性质，可将不等式转化log₂（$\frac{{2}^{x}-t}{8+{2}^{x+3}}$）≥1-log₂3，由此可得实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵g（x+2）=-g（x），
∴g（x+4）=g（x），周期为：4，
∵定义在R上的奇函数g（x），
∴g（0）=0，即a=1，
∴当0≤x≤1时，g（x）=log₂（x+1），
∵当-2≤x≤-1，则0≤x+2≤1，g（x+2）=log₂（x+3）
∴当-2≤x≤-1，g（x）=-log₂（x+3）；
（2）∵x的不等式g（$\frac{t-{2}^{x}}{8+{2}^{x+3}}$）≥1-log₂3在R上恒成立，
∴log₂（$\frac{{2}^{x}-t}{8+{2}^{x+3}}$-1）≥1-log₂3，
整理得：3t=-37•2^x-40＜-77，
∴t＜-$\frac{77}{3}$．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查周期性，考查了计算化简能力，属于中档题．