Question

斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA₁与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求这个三棱柱的侧面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：过点B作BM⊥AA₁于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，证明ABM≌△ACM，推出AA₁⊥面BHC，求出BMC周长，然后求解S_侧．

解答： 解：过点B作BM⊥AA₁于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，
∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45°，MA为公用边，
∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90°，∴AA₁⊥面BHC，
即平面BMC为直截面，
又BM=CM=ABsin45°=

2

2

a，
∴BMC周长为2x

2

2

a+a=（1+

2

）a，且棱长为b，
∴S_侧=（1+

2

）ab．

点评：本题考查棱柱的结构特征，侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．