Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．

（1）证明AB⊥A1C；
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，

因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，

所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，

又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，

又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C；

（2）解：由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，

所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．

以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，| |为单位长，建立如图所示的坐标系，

可得A（1，0，0），A1（0， ，0），C（0，0， ），B（﹣1，0，0），

则 =（1，0， ）， =（﹣1， ，0）， =（0，﹣ ， ），

设 =（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则 ，即 ，

可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞= =- ，

又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，

故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为： ．

【解析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1 ， A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（2）易证OA，OA1 ， OC两两垂直以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，| |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则 ，可解得 =（ ，1，﹣1），可求|cos＜ ， ＞|，即为所求正弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，需要了解垂直于同一个平面的两条直线平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．