Question

4．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，如果存在正整数k和l（k≠l），使得S_k=kl²，S_l=lk²，则（　　）

• A． S_k+1的最小值为-6
• B． S_k+l的最大值为-6
• C． S_k+1的最小值为6
• D． S_k+l的最小值为6

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式，进行递推即可得到结论．

解答 解：∵S_k=ka₁+k（k-1）$\frac{d}{2}$ 且S_k=kl²，
∴ka₁+k（k-1）$\frac{d}{2}$=kl²，
a₁+（k-1）$\frac{d}{2}$=l²…①
∵S₁=la₁+l（l-1）$\frac{d}{2}$ 且S_k=lk²
∴la₁+l（l-1）$\frac{d}{2}$=lk²
a₁+（l-1）$\frac{d}{2}$=k²…②
①-②（k-l）$\frac{d}{2}$=l²-k²
化简得 d=-2（k+l）…③
则：S_k+l=（k+l）a₁+（k+l）（k+l-1）$\frac{d}{2}$，
=（k+l）[a₁+（k+l-1）$\frac{d}{2}$]
=（k+l）[a₁+（k-1）$\frac{d}{2}$+$\frac{d}{2}$l]，
代入①、③式值：
S_k+1=-kl（k+l）
S_k+1随k，l的值增大而递减，所以S_k+1有最大值，无最小值
当k，l取最小值1，2时S_k+1最大
S_k+1（max）=-1×2（1+2）=-6，
故选：B．

点评 本题主要考查等差数列的应用，利用等差数列的通项公式以及前n项公式进行推理是解决本题的关键．综合性较强，难度较大，考查学生的运算和推理能力．