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    （2013•黄浦区二模）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足y=
    ax
    x2+1
    ，(0＜x＜1)
    a•2x-1
    4x-1+1
    ，(x≥1)
    ，其对应曲线（如图所示）过点(2，
    16
    5
    )    ．
    （1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；
    （2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）
    分析：（1）由曲线过点(
    1
    2
    ，
    16
    5
    )    ，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y的最大值）与达峰时间；
    （2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．
    解答：解：（1）由曲线过点(
    1
    2
    ，
    16
    5
    )    ，可得
    a×
    1
    2
    1
    4
    +1
    =
    16
    5
    ，故a=8…（2分）
    当0＜x＜1时，y=
    8x
    x2+1
    ＜
    8x
    2x
    =4    ，…（3分）
    当x≥1时，设2x-1=t，可知t≥1，y=
    8×2x-1
    4x-1+1
    =
    8t
    t2+1
    ≤
    8t
    2t
    =4    （当且仅当t=1时，y=4）…（5分）
    综上可知ymax=4，且当y取最大值时，对应的x值为1
    所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时．                   …（6分）
    （2）当0＜x＜1时，由
    8x
    x2+1
    =1    ，可得x2-8x+1=0，
    解得x=4±
    		15
    ，又4+
    		15
    ＞1    ，故x=4-
    		15
    ．             …（8分）
    当x≥1时，设2x-1=t，则t≥1，
    由
    8×2x-1
    4x-1+1
    =1    ，可得
    8t
    t2+1
    =1    ，解得t=4±
    		15
    ，
    又t≥1，故t=4+
    		15
    ，所以2x-1=4+
    		15
    ，
    可得x=log2(4+
    		15
    )+1    ．　　　　　　　　 …（12分）
    由图象知当y≥1时，对应的x的取值范围是[4-
    		15
    ，log2(4+
    		15
    )+1]    ，
    ∵log2(4+
    		15
    )+1-(4-
    		15
    )≈3.85    ，
    所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间．  …（14分）
    点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．
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    1
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    1
    3
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    		2
    2
    3
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    2
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