Question

17．△ABC中，∠C=90°，作三个正方形及三个圆O₁，O₂，O₃，如图，半径分别为r₁，r₂，r₃．证明：r₁r₃=r${\;}_{2}^{2}$．

Answer 1

分析 证明三个正方形的边长为等比数列，所以其内接圆半径也是等比数列即可．

解答 证明：设ABC的三边为a，b，c，第一个正方形，将AC（b）边分成两段，分别属于两个与ABC相似的三角形
设正方形边长为x，则有x=（b-$\frac{b}{c}$x）•$\frac{a}{c}$，解得x=$\frac{abc}{{c}^{2}+ab}$，即边为a，b，c的直角三角形的内接正方形的边长
设第二个正方形边长为y，内接于直角三角形的边长为x，$\frac{ax}{b}$，$\frac{ax}{c}$，所以y=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}b+a{c}^{2}}$x
同样，设第三个正方形边长为z 则有z=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}b+a{c}^{2}}$y，
所以zx=y²，从而证明了x，y，z为等比数列，
所以其内接圆半径也是等比数列，即r₁r₃=r${\;}_{2}^{2}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，确定三个正方形的边长为等比数列是关键．