Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、F分别是BB₁、AA₁、AC的中点，AC=BC=$\frac{1}{2}$AA₁，AB=$\sqrt{2}$AC
（1）求证：CD∥平面BEF
（2）求平面ACD与平面A₁C₁D所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）由棱柱的结构特征结合已知说明四边形ABDF为平行四边形，连接BF、AD相交于G，则G为AD的中点，又E为AC的中点，由三角形中位线定理可得线线平行，再由线面平行的判定得CD∥平面BEF；
（2）由线面垂直的判定和性质可得AC⊥CD，A₁C₁⊥C₁D．从而得∠C₁DC为平面ACD与平面A₁C₁D所成二面角的平面角，再由已知解三角形得答案．

解答 （1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D、F分别是BB₁、AA₁的中点，∴四边形ABDF为平行四边形，
连接BF、AD相交于G，则G为AD的中点，又E为AC的中点，连接EG，则EG∥CD，
又CD?面BEF，EG?面BFE，∴CD∥平面BEF；
（2）解：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴A₁C₁⊥CC₁，AC⊥CC₁，
在△ABC中，∵AC=BC，AB=$\sqrt{2}$AC，∴AC²+BC²=AB²，则AC⊥BC，
同理A₁C₁⊥B₁C₁，∴AC⊥面BB₁C₁C，则AC⊥CD，
同理A₁C₁⊥C₁D．
∴∠C₁DC为平面ACD与平面A₁C₁D所成二面角的平面角．
∵BC=$\frac{1}{2}$AA₁，
∴∠BCD=∠B₁C₁D=45°，
则∠C₁DC=90°．
即平面ACD与平面A₁C₁D所成二面角的大小是90°．

点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．