Question

16．设a₁，a₂，…a_n是正整数1，2，3，…，n的一个排列，令b_j表示排在j的左边且比j大的数的个数，称为j的逆序数．如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序数是0，2的逆序数是3，则由1至8这8个数字构成的所有排列中，满足1的逆序数是2，2的逆序数是3，5的逆序数是3的不同排列种数是（　　）

• A． 144
• B． 172
• C． 180
• D． 192

Answer 1

分析 由题意知1必在第3位，2必在第5位； 5可以在第6位，5也可以在第7位，5也可以在第8位；分3种情况进行讨论．

解答 解：由题意知，1必在第3位，2必在第5位； 5可以在第6位，5可以在第7位，5在第8位．
若5在第6位，则5前面有3个空位，需从6，7，8中选出3个填上，
把剩下的2个数填在5后面的2个空位上，则有A₃³A₂²=12种，
若5在第7位，则5前面有4个空位，其中3，4当中的一个应填在其中的一个空位上，余下3个空位，需从6，7，8中选出3个填上则有C₂¹A₄⁴=48种，
若5在第8位，则5前面有5个空位，则有A₅⁵=120种，
合计为：12+48+120=180种，
故选：C．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题的应用，体现了分类讨论的数学思想，本题解题的关键是分类时做到不重不漏．