Question

9．已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（-1，1），圆D的方程为（x-4）²+y²=4
（1）求圆C的方程；
（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A（0，0）和B（-1，1）的垂直平分线方程，得到其与x轴的交点坐标，即圆C的圆心坐标，进一步求得半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）设出P点坐标，然后求出切线方程，得到切线在y轴上的截距，利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围．

解答 解：（1）过两点A（0，0）和B（-1，1）的直线的斜率为-1，
则线段AB的中垂线方程为：$y-\frac{1}{2}=1×（x+\frac{1}{2}）$，整理得：y=x+1．
取y=0，得x=-1．
∴圆C的圆心坐标为（-1，0），半径为1，
∴圆C的方程为：（x+1）²+y²=1；
（2）设P（x₀，y₀），A（0，a），B（0，b），
则直线PA方程为$\frac{y-a}{{y}_{0}-a}=\frac{x}{{x}_{0}}$，整理得：（y₀-a）x-x₀y+ax₀=0．
∵直线PA与圆C相切，可得$\frac{|a-{y}_{0}+a{x}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-a）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}=1$，化简得$（{x}_{0}+2）{a}^{2}-2{y}_{0}a-{x}_{0}=0$；
同理可得PB方程$（{x}_{0}+2）{b}^{2}-2{y}_{0}b-{x}_{0}=0$，
因而a，b为$（{x}_{0}+2）{x}^{2}-2{y}_{0}x-{x}_{0}=0$的两根，
∴丨AB丨=|a-b|=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$$\sqrt{（\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）^{2}+\frac{4{x}_{0}}{{x}_{0}+2}}=2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{5{x}_{0}-6}{（{x}_{0}+2）^{2}}}$，
令t=x₀+2∈[4，8]，则$|AB|=2\sqrt{2}•\sqrt{-\frac{16}{{t}^{2}}+\frac{5}{t}}$，配方可求得$|AB{|}_{min}=\sqrt{2}$，$|AB{|}_{max}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：[$\sqrt{2}，\frac{5\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了数学转化、化归等思想方法，是中档题．