Question

【题目】已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点.

（Ⅰ）求椭圆的方程.

（Ⅱ）已知点，是椭圆上的两点.

（ⅰ）若，且为等边三角形，求的面积；

（ⅱ）若，证明： 不可能为等边三角形.

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据面积公式得到，以及点在曲线上，代入得到，以及，求得；（Ⅱ）（ⅰ）根据等边三角形的性质，可得直线的倾斜角是或，这样求得直线的方程，联立椭圆方程，得到点的坐标，求得面积；（ⅱ）因为，所以斜率存在，设直线的方程是，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并且表示线段中点的坐标，若是等边三角形，则，可求得，不合题意.

试题解析：（Ⅰ）依题意， ， ，联立两式，解得， ，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）（ⅰ）由且为等边三角形及椭圆的对称性可知，直线和直线与轴的夹角为，由可得.

即或，当时， 的面积为；

当时， 的面积为.

（ⅱ）因为，故直线斜率存在，设直线， 中点为，联立消去得，

由得到，①

所以， ，

所以.

又，若为等边三角形，则有，

即，即，化简得，②

由②得点横坐标为，不合题意.

故不可能为等边三角形.

（用点差法求点坐标也可）