【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求证:过点
有三条直线与曲线
相切;
(Ⅱ)当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】试题分析:
(1)首先对函数求导,写出切线方程,讨论方程根的分布可得过点有三条直线与曲线
相切;
(2)利用题意构造函数,由新函数的性质可得实数
的取值范围是
.
试题解析:解法一:(Ⅰ)当时,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为:
,
因为切线过点,所以
,
即
,
∵,∴
,
设,
∵,
,
,
∴在三个区间
上至少各有一个根
又因为一元三次方程至多有三个根,所以方程恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)∵当时,
,即当
时,
∴当时,
,
设,则
,
设,则
.
(1)当时,∵
,∴
,从而
(当且仅当
时,等号成立)
∴在
上单调递增,
又∵,∴当
时,
,从而当
时,
,
∴在
上单调递减,又∵
,
从而当时,
,即
于是当时,
.
(2)当时,令
,得
,∴
,
故当时,
,
∴在
上单调递减,
又∵,∴当
时,
,
从而当时,
,
∴在
上单调递增,又∵
,
从而当时,
,即
于是当时,
,
综合得的取值范围为
.
解法二:(Ⅰ)当时,
,
,
设直线与曲线相切,其切点为
,
则曲线在点
处的切线方程为
,
因为切线过点,所以
,
即
,
∵,∴
设,则
,令
得
当变化时,
,
变化情况如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
∴恰有三个根,
故过点有三条直线与曲线
相切.
(Ⅱ)同解法一.
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【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国.某选拔赛后,随机抽取100名选手的成绩,按成绩由低到高依次分为第1,2,3,4,5组,制成频率分布直方图如下图所示:
(I)在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手,求第3、4、5组每组各抽取多少名选手;
(II)在(I)的前提下,在5名选手中随机抽取2名选手,求第4组至少有一名选手被抽取的概率.
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【题目】某公园有一个直角三角形地块,现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域.如图,矩形区域用于娱乐城设施的建设,三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉,三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉.已知OA=4千米,OB=3千米,∠AOB=90°,甲种花卉每平方千米造价1万元,乙种花卉每平方千米造价4万元,设OE=x千米.试建立种植花卉的总造价为y(单位:万元)关于x的函数关系式;求x为何值时,种植花卉的总造价最小,并求出总造价.
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【题目】已知函数f(x)= ﹣
的定义域为集合A,B={x∈Z|3<x<11},C={x∈R|x<a或x>a+1}.
(1)求A,(RA)∩B;
(2)若A∪C=R,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆的右焦点
,椭圆
的左,右顶点分别为
.过点
的直线
与椭圆交于
两点,且
的面积是
的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若与
轴垂直,
是椭圆
上位于直线
两侧的动点,且满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】已知椭圆过点
,顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
,点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)已知点,是椭圆
上的两点.
(ⅰ)若,且
为等边三角形,求
的面积;
(ⅱ)若,证明:
不可能为等边三角形.
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