【题目】如图,在四棱锥中,底面
为等腰梯形,
,其中点
在以
为直径的圆上,
,
,
,平面
平面
.
(1)证明:平面
.
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连接,
,根据直径所对圆周角是直角,得到
,计算出
的长,通过勾股定理证得
,再根据面面垂直的性质定理得到
平面
.(2)
为坐标原点,分别以
,
,
的方向为
,
,
轴的正方向建立空间直角坐标系通过计算平面
和平面
的法向量,计算二面角
的余弦值,进而求得其正弦值.
(1)证明:连接,
,因为点
在以
为直径的圆上,所以
.
因为,所以
,
.
所以.
因为为等腰梯形,
,
所以.
又因为,
,
所以,从而得
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
.
(2)解:由(1)易知,
,
两两垂直,以
为坐标原点,分别以
,
,
的方向为
,
,
轴的正方向建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
.
因为,所以
,
,
,
.
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
由,得
,令
,得
,
由,得
,令
,得
,
所以,所以
,
故二面角的正弦值为
.
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【题目】网约车的兴起丰富了民众出行的选择,为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题,据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示,截止目前,该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次,梁某即为此类网约车司机,据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、,它们出现的概率依次是
、
、
、
、t、
.
(1)求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列,并求X的均值和方差;
(2)网约车计费细则如下:起步价为5元,行驶路程不超过时,租车费为5元,若行驶路程超过
,则按每超出
(不足
也按
计程)收费3元计费.依据以上条件,计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差.
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【题目】设m,n为平面α外两条直线,其在平面α内的射影分别是两条直线m1和n1,给出下列4个命题:①m1∥n1m∥n;②m∥nm1与n1平行或重合;③m1⊥n1m⊥n;④m⊥nm1⊥n1.其中所有假命题的序号是_____.
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【题目】随着我国经济的飞速发展,人民生活水平得到很大提高,汽车已经进入千千万万的家庭.大部分的车主在购买汽车时,会在轿车或者中作出选择,为了研究某地区哪种车型更受欢迎以及汽车一年内的行驶里程,某汽车销售经理作出如下统计:
购买了轿车(辆) | 购买了 | |
| ||
|
表
图
(I)根据表,是否有
的把握认为年龄与购买的汽车车型有关?
(II)图给出的是
名车主上一年汽车的行驶里程,求这
名车主上一年汽车的平均行驶里程(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)用表中的频率估计概率,随机调查
名
岁以下车主,设其中购买了轿车的人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:,
.
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【题目】将个不同的红球和
个不同的白球,放入同一个袋中,现从中取出
个球.
(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法;
(2)取出一个红球记分,取出一个白球记
分,若取出
个球的总分不少于
分,则有多少种不同的取法;
(3)若将取出的个球放入一箱子中,记“从箱子中任意取出
个球,然后放回箱子中”为一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到
个红球并且恰有一次取到
个白球的概率.
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【题目】△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0.
(1)求直线AB的方程;
(2)求直线BC的方程;
(3)求△BDE的面积.
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【题目】(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直接坐标系中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为
.
(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
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