Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②?x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{a_n}满足①a₁=1，②f（a_n+1）=f（a_n） f（1），（n∈N^*），…+（-1）ⁿ，则T₁₀₀等于

1. A.
   4900
2. B.
   -4900
3. C.
   5050
4. D.
   -5050

Answer 1

C
分析：先根据抽象函数的性质，证明出函数f（x）在R上是单调递增函数．从而f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，判断出数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为a_n=n．再利用分组求和法求和即可．
解答：对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=，同理以f（-x）=
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即＞1，
变形得0＜f（x）＜1．
综上所述任意x∈R，f（x）＞0．
设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）f（-x₁）=＞1，f（x₂）＞f（x₁）
所以函数f（x）在R上是单调递增函数．
f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为a_n=n．
=3+7+…+199==5050．
故选C．
点评：本题考查抽象函数性质的证明与应用，数列求和．考查推理论证、计算化简能力．