精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,已知椭圆C:的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|•|OS|为定值.
【答案】分析:(1)依题意,得a=2,,由此能求出椭圆C的方程.
(2)法一:点M与点N关于x轴对称,设M(x1,y1),N(x1,-y1),设y1>0.由于点M在椭圆C上,故.由T(-2,0),知=,由此能求出圆T的方程.
法二:点M与点N关于x轴对称,故设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),设sinθ>0,由T(-2,0),得=,由此能求出圆T的方程.
(3)法一:设P(x,y),则直线MP的方程为:,令y=0,得,同理:,…(10分)故,由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值. 
法二:设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),设sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.则直线MP的方程为:,由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值.
解答:解:(1)依题意,得a=2,
∴c=,b==1,
故椭圆C的方程为.…(3分)
(2)方法一:点M与点N关于x轴对称,
设M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设y1>0.
由于点M在椭圆C上,所以.     (*)          …(4分)
由已知T(-2,0),则

=(x1+2)2-
=
=.…(6分)
由于-2<x1<2,
故当时,取得最小值为
由(*)式,,故
又点M在圆T上,代入圆的方程得到
故圆T的方程为:.…(8分)
方法二:点M与点N关于x轴对称,
故设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),
不妨设sinθ>0,由已知T(-2,0),

=(2cosθ+2)2-sin2θ
=5cos2θ+8cosθ+3
=.…(6分)
故当时,取得最小值为
此时
又点M在圆T上,代入圆的方程得到
故圆T的方程为:. …(8分)
(3)方法一:设P(x,y),
则直线MP的方程为:
令y=0,得
同理:,…(10分)
      (**) …(11分)
又点M与点P在椭圆上,
,…(12分)
代入(**)式,
得:
所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值.               …(14分)
方法二:设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),
不妨设sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.
则直线MP的方程为:
令y=0,得
同理:,…(12分)

所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值.…(14分)
点评:本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•临沂二模)
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)如图,已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为
3
2
,点A是椭圆上任一点,△AF1F2的周长为4+2
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记
MQ
QN
,若在线段MN上取一点R,使得
MR
=-λ
RN
,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东临沂高三5月高考模拟文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,已知椭圆C: 的左、右焦点分别为,离心率为,点A是椭圆上任一点,的周长为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点任作一动直线l交椭圆C于两点,记,若在线段上取一点R,使得,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏五校高三下学期期初教学质量调研数学卷(解析版) 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C的上、下顶点分别为AB,点P在椭圆C上且异于点AB,直线APPB与直线ly=-2分别交于点MN.

(1)设直线APPB的斜率分别为k1k2,求证:k1·k2为定值;

(2)求线段MN长的最小值;

(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年四川省乐山市高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,已知椭圆C:的长轴AB长为4,离心率,O为坐标原点,过B的直线l与x轴垂直.P是椭圆上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连接AQ延长交直线l于点M,N为MB的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明Q点在以AB为直径的圆O上;
(3)试判断直线QN与圆O的位置关系.

查看答案和解析>>

同步练习册答案