Question

已知函数f（x）=2-，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n≥2，n?N^*）．若，数列{b_n}满足
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=（2b_n+6）•2^n-1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

证明：（1）由已知得：（n≥2，n?N^*）． …（2分）
∴，，，…（4分）
∴ （n≥2，n?N^*）．
∴数列{b_n}是等差数列． …（6分）
解：（2）由（1）知，数列{b_n}是等差数列，首项，公差为1，
则其通项公式，…（8分）
∴c_n=（2b_n+6）•2^n-1=（2n-1）•2^n-1 …（10分）
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
2T_n═1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
两式相减得：
T_n=-1-2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）+（2n-1）•2ⁿ=（2n-3）•2ⁿ+3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．…（12分）
分析：（1）根据条件，可得，由，两者结合可得，，利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据题中条件可求得，c_n=（2n-1）•2^n-1，T_n=1+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，利用错位相减法可求得T_n．
点评：本题考查等差关系的确定与数列的求和，重点考查等差数列的定义理解与应用及错位相减法求数列的和，属于难题．