Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，求下列条件下数列的通项公式a_n．
（1）S_n=2•5ⁿ-2；
（2）若S₁=1，S_n+1=3S_n+2．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由S_n=2•5ⁿ-2，构造方程组，利用作差法即可求出数列的通项公式．
（2）若S₁=1，S_n+1=3S_n+2，构造方程组，利用作差法即可求出数列的通项公式．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2•5ⁿ-2-2•5^n-1+2=8•5^n-1；
当n=1时，a₁=S₁=2•5-2=8，满足a_n=8•5^n-1，
故数列的通项公式a_n=8•5^n-1．
（2）若S₁=1，S_n+1=3S_n+2．
则当n≥2时，S_n=3S_n-1+2，
两式作差得S_n+1-S_n=3S_n+2-3S_n-2，
即a_n+1=3a_n，
当n=1时，S₂=3S₁+2=3+2=5，
即a₁+a₂=5，解得a₂=5-1=4，
则a₂=4a₁，不满足a_n+1=3a_n，
则当n≥2时，数列{a_n}是以a₂=4为首项，公比q=3的等比数列，
则a_n=4×3^n-2，（n≥2），
则数列的通项公式a_n=

1， n=1 4×3n-2， n≥2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系进行求解即可．