Question

已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1），且f（0）=0．
（1）求a的值；
（2）若函数h（x）=

f(x)，x∈[0，1) (2x+1)f(x)+4x+1，x∈[1，2]

，当x∈[0，2]时，mh（x）≤2^x+m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用代入法，解方程即可得到a=2；
（2）求得h（x）的分段函数，讨论当x∈[0，1）时，h（x）-1的值域，由不等式的恒成立即有m≥0；当x∈[1，2]时，求出h（x）的值域，运用参数分离和函数的单调性求得最小值，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0，a≠1），且f（0）=0，
则1-

4

2a0+a

=0，解得a=2；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
则h（x）=

2x-1 2x+1 ，x∈[0，1) 2x+4x，x∈[1，2]

，
当x∈[0，1）时，h（x）=1-

2

2x+1

递增，且h（x）∈[0，

1

3

），
当x∈[0，1]时，mh（x）≤2^x+m-1恒成立即为m[h（x）-1]≤2^x-1恒成立，
即2^x-1∈[0，1），h（x）-1∈[-1，-

2

3

），则m≥0；
当x∈[1，2]时，h（x）-1=2^x+4^x-1＞0，
当x∈[1，2]时，mh（x）≤2^x+m-1恒成立即为m[h（x）-1]≤2^x-1恒成立，
即为m≤

2x-1

2x+4x-1

，
令t=2^x-1∈[1，3]，即有m≤

t

t+(1+t)2

=

1

t+ 1 t +3

，
由t+

1

t

∈[2，

10

3

]，即有m≤

1

3+ 10 3

=

3

19

．
当x∈[0，2]时，mh（x）≤2^x+m-1恒成立，
即有0≤m≤

3

19

．

点评：本题考查分段函数的运用，主要考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用换元法和函数的单调性和基本不等式的运用是解题的关键．