Question

若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=

x2+2x(x＜0) x+1 ex (x≥0)

，则f（x）的“姊妹点对”有 （　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意可设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，从而可得

y=x2+2x -y= -x+1 e-x

，从而可得方程x²+2x+

1-x

e-x

=0，再构造函数g（x）=x²+2x+（1-x）e^x，求导确定函数的大致单调性，从而由函数零点的判定定理确定个数即可．

解答： 解：设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，
则点B（-x，-y）也在f（x）的图象上；
故

y=x2+2x -y= -x+1 e-x

；
故x²+2x+

1-x

e-x

=0，
令g（x）=x²+2x+

1-x

e-x

=x²+2x+（1-x）e^x，
g′（x）=2x+2-xe^x，
故可知g（x）在（-∞，0）上先减后增，
且g（-2）=

3

e2

＞0，g（-1）=

2

e

-1＜0，g（0）=1；
且g（x）在（-∞，0）上连续，
故x²+2x+

1-x

e-x

=0在（-∞，0）上有两个解，
故f（x）的“姊妹点对”有2个；
故选：C．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及导数的综合应用，同时考查了零点个数的判断，属于中档题．