Question

8．已知A、B是抛物线y²=4x上两点，O为坐标原点，若OA=OB，且抛物线的焦点恰为△AOB的垂心，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于-1即可解决．

解答 解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．
设直线AB的方程是x=m，
则A（m，2$\sqrt{m}$）、B（m，-2$\sqrt{m}$）
∵△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F（1，0 ）
∴AF⊥OB，K_AF•K_OB=-1，
∴$\frac{2\sqrt{m}}{m-1}$•$\frac{-2\sqrt{m}}{m}$=-1，
∴m=5，
∴直线AB的方程是x=5．

点评 本题主要考查抛物线的简单性质、三角形垂心性质等基础知识，考查运算求解能力和转化思想，属于基础题．