Question

（2011•普宁市模拟）已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，

3

2

）时，f（x）=sinπx，f（

3

2

）=

1

2

，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（　　）

A．3

B．5

C．7

D．9

Answer 1

分析：要求方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数，根据函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，

3

2

）时f（x）=sinπx，我们不难得到一个周期函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．

解答：解：∵当x∈（0，

3

2

）时，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴在区间∈[-

3

2

，

3

2

]上，
f（-1）=f（1）=0，
f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，2，3，4，5，6．
共7个．
故选C．

点评：若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为5个，若区间为半开半闭区间，则答案为6个，故要注意对端点的分析．