Question

已知矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量为α2=

3 -2

．
（1）求矩阵A；
（2）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵．

Answer 1

分析：（1）由Aα₁=6α₁，Aα₂=α₂，知

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，由此能求出矩阵A．
（2）由detA=

.

3 3 2 4

.

=6≠0，能求出矩阵A的逆矩阵．

解答：解：（1）∵Aα₁=6α₁，Aα₂=α₂，
∴

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，得c+d=6，①（2分）

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，得，3c-2d=-2②（4分）
由①②联立，解得，c=2，d=4，
∴A=

3 3 2 4

．（6分）
（2）detA=∵

.

3 3 2 4

|=6≠0，
∴矩阵A可逆，（8分）
∴A-1=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

．（10分）

点评：本题考查矩阵和矩阵的逆阵的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．