Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）． （Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的x1 ， x2∈[0，2]，x1≠x2 ， 不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）ex ， y′=（x+1）（x+2）ex ， 令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，
∴函数y=f（x）g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，
而x=﹣2时，y= ，x=0时，y=1，
故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；
（Ⅱ）由题意得：k= = 有且只有一个根，
令h（x）= ，则h′（x）= ，
故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，
所以h（x）极大=h（2）= ，h（x）极小=h（1）= ，
因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，
所以当k＞ 或0＜k＜ 时，k=h（x）有且只有一个根．
（Ⅲ）设x1＜x2 ， 因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，
故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
即 ，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，
则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，
则有 ，在[0，2]恒成立，
当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，因为﹣（ex+2x）在[0，2]单调递减，
所以﹣（ex+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；
当a≤ex﹣2x恒成立时，因为ex﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，
所以ex﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，
综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，即k= = ，有且只有一个根，令h（x）= ，可得h（x）极大=h（2）= ，h（x）极小=h（1）= ，进而可得当k＞ 或0＜k＜ 时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2 ， 因为g（x）=ex在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（ex+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤ex﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．