Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA+tanB=

2sinC

cosA

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知

a

c

+

c

a

=3，求sinAsinC的值．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由tanA+tanB=

2sinC

cosA

，利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式求得cosB的值，可得 B的值．
（Ⅱ）由条件利用余弦定理可得

b2

ac

=2，再由正弦定理求得sinAsinC 的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵tanA+tanB=

sinA

cosA

+

sinB

cosB

=

sinAcosB+cosAsinB

cosAcosB

=

sin(A+B)

cosAcosB

=

sinC

cosAcosB

，
且 tanA+tanB=

2sinC

cosA

，
∴

sinC

cosAcosB

=

2sinC

cosA

，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）∵

a

c

+

c

a

=

a2+c2

ac

=

b2+2ac•cosB

ac

=3，∴

b2

ac

=2，
而

b2

ac

=

sin2B

sinAsinC

=

3

4sinAsinC

，∴sinAsinC=

3

8

．

点评：本题主要考查正弦定理、同角角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．